Question

【题目】已知向量 =（1，2）， =（﹣2，m）， = +（t2+1） ， =﹣k + ，m∈R，k、t为正实数．
（1）若 ∥ ，求m的值；
（2）若 ⊥ ，求m的值；
（3）当m=1时，若 ⊥ ，求k的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ∥ 可得1×m﹣2×（﹣2）=0，解之可得m=﹣4
（2）解：由 ⊥ 可得1×（﹣2）+2×m=0，解之可得m=1
（3）解：当m=1时， =（﹣2t2﹣1，t2+3），

=（ ， ），

由 ⊥ 可得（﹣2t2﹣1）（ ）+（t2+3）（ ）=0，

化简可得 ，当且仅当t=1时取等号，

故k的最小值为：2

【解析】（1）（2）由平行和垂直的条件分别可得关于m的方程，解之可得；（3）把m=1代入，分别可得向量 ， 的坐标，由垂直可得k，x的关系式，由基本不等式可得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数量积判断两个平面向量的垂直关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证;即：两平面垂直两平面的法向量垂直．