Question

已知数列满足,，，数列满足，

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式．

Answer 1

 (1)由a_n＋1＝2a_n－a_n－1(n≥2，n∈N^*)，

可得a_n＋1－a_n＝a_n－a_n－1(n≥2，n∈N^*)．

∴数列{a_n}是首项为a₁＝，公差为d＝a₂－a₁＝的等差数列．

∴a_n＝a₁＋(n－1)d＝n－(n∈N^*)，

即a_n＝n－(n∈N^*)．                                   (2)由3b_n－b_n－1＝n，得b_n＝b_n－1＋n(n≥2，n∈N^*)，

∴b_n－a_n＝b_n－1＋n－n＋＝b_n－1－n＋＝(b_n－1－n＋)

＝[b_n－1－(n－1)＋]＝(b_n－1－a_n－1)．

又b₁－a₁＝≠0，∴b_n－a_n≠0(n∈N^*)，得＝(n≥2，n∈N^*)，

即数列{b_n－a_n}是首项为b₁－a₁＝，公比为的等比数列．