Question

椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上有n个不同的点P₁，P₂，…，P_n，椭圆的右焦点为F，记a_n=|P_nF|，若数列{a_n}是公差不小于

1

100

的等差数列，则n的最大值为

 

．

Answer 1

分析：先求出等差数列|P_nF|的首项与末项，用含n的式子表示公差d，再根据数列|P_nF|是公差不小于

1

100

的等差数列，求出n的范围，可得最大值．

解答：解：在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中，a=2，c=1
∵椭圆上点到右焦点的最小距离是a-c=1，最大距离是a+c=3，
∵数列|P_nF|是公差不小于

1

100

的等差数列，
∴P₁F=a-c=1，P_nF=a+c=3，
∴公差d=

PnF-P1F

n-1

=

3-1

n-1

=

2

n-1

又∵数列|P_nF|是公差不小于等差数列．
∴d≥

1

100

，即

2

n-1

≥

1

100

，解得n≤201．
∴n的最大值为201
故答案为：201

点评：本题借助圆锥曲线的知识考查等差数列的通项公式，属中档题．