Question

已知函数f（x）=1+sinx，（x∈[0，2π））图象在点P处的切线与函数g(x)=

x

(

x

3

+1)图象在点Q处的切线平行，则直线PQ与两坐标轴所围成的三角形的面积为

3

2

．

Answer 1

分析：先求导函数，利用函数f（x）=1+sinx，（x∈[0，2π））图象在点P处的切线与函数g(x)=

x

(

x

3

+1)图象在点Q处的切线平行，求得P，Q的坐标，进而可求PQ的方程，由此可计算直线PQ与两坐标轴所围成的三角形的面积．

解答：解：设P（a，b），Q（m，n）
求导函数，f′（x）=cosx，g′(x)=

1

2

(

x

+

1

x

)
∴g′(x)=

1

2

(

x

+

1

x

)≥1，-1≤f′（x）≤1
∵函数f（x）=1+sinx，（x∈[0，2π））图象在点P处的切线与函数g(x)=

x

(

x

3

+1)图象在点Q处的切线平行
∴f′（a）=g′（m）
∴cosa=1，g′(m)=

1

2

(

m

+

1

m

)
∵a∈[0，2π），x＞0
∴a=0，m=1
∴f(a)=f(0)=1，g(m)=g(1)=

4

3

∴P(0，1)，Q(1，

4

3

)
∴直线PQ的方程为：

y-1

4 3 -1

=

x-0

1-0

即y-1=

1

3

x
∴x=0时，y=1，y=0时，x=-3，
∴直线PQ与两坐标轴所围成的三角形的面积为

1

2

×1×3=

3

2

故答案为：

3

2

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是正确运用导数的几何意义求出P，Q的坐标．