Question

设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π） 且x≠时，，则函数y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意x∈（0，π） 当x∈（0，π） 且x≠时，，以为分界点进行讨论，确定函数的单调性，利用函数的图形，画出草图进行求解，即可得到结论
解答：解：∵当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，f（x）为偶函数，
∴当x∈[-π，2π]时，0＜f（x）＜1；
当x∈（0，π） 且x≠时，，
∴x∈[0，]时，f（x）为单调减函数；x∈[，π]时，f（x）为单调增函数，
∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，
在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）草图象如下，

由图知y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为4个．
故答案为4．
点评：本题考查函数的单调性，考查函数的零点，考查函数的周期性与奇偶性，利用数形结合的思想来求解，会化难为易．