Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为(

5

，0)，四个顶点构成的四边形面积为12
（1）求椭圆的方程
（2）设点P（0，3），若在椭圆上的点M、N满足

PM

=λ

PN

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为(

5

，0)，四个顶点构成的四边形面积为12，得到

a2-b2=5 2ab=12

，由此能求出椭圆的方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，3）由

PM

=λ

PN

，知（x₁，y₁-3）=λ（x₂，y₂-3），x₁=λx₂，y=kx+3 与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1联立得（9k²+4）x²+54kx+45=0，由△≥0，得k²≥

5

9

，由此入手，由韦达定理能够求出实数λ的取值范围．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为(

5

，0)，
四个顶点构成的四边形面积为12，
∴

a2-b2=5 2ab=12

，
解得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，3）
∵

PM

=λ

PN

，
（x₁，y₁-3）=λ（x₂，y₂-3），x₁=λx₂，
y=kx+3 与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1联立整理得
（9k²+4）x²+54kx+45=0，
x₁+x₂=（1+λ）x₂=-

54k

9k2+4

，
x2=-

54k

(9k2+4)(1+λ)

，（1）
x1•x2=

45

9k2+4

=λx₂²，（2）
将（1）代入（2）
 λ [

-54k

(9k2+4)(1+λ)

]2=

45

9k2+4

，
整理得k²=

20(λ+1)2

(-45-45λ2+234λ)

，
在（9k²+4）x²+54kx+45=0中，
△=（54k）²-4（9k²+4）×45≥0，
整理得k²≥

5

9

，
将k²=

20(λ+1)2

(-45-45λ2+234λ)

代入，
整理得

9λ2-18λ+9

5λ2-26λ+5

≤0，
所以

1

5

≤λ≤5．

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．