Question

（2012•泉州模拟）如图，设AB、A′B′分别是圆O：x²+y²=a²和椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的弦，端点A与A′、B与B′的横坐标分别相等，纵坐标分别同号．
（Ⅰ）若椭圆C的短轴长为2，离心率为

3

2

，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若弦AB过定点M(0，

3

2

)，试探究弦A′B′是否也必过某个定点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆C的短轴长为2，离心率为

3

2

，求出几何量，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）解法一：利用点A在圆O上，点A′在椭圆C上，确定A′，B′的纵坐标，利用弦AB过定点M(0，

3

2

)，确定直线A′B′的方程，从而可得弦A′B′必过定点；
解法二：根据圆O上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的

1

2

倍可得到椭圆C，端点A与A′、B与B′的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，由弦AB过定点M(0，

3

2

)，猜想弦A′B′过定点M′(0，

3

4

)，进一步可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，b=1，

c

a

=

3

2

，…（2分）
解得：a²=4，所以椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圆O的方程为：x²+y²=4．…（5分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、A′（x₁，m）、B′（x₂，n），
∵点A在圆O上，∴

x

2 1

+

y

2 1

=4，…①
∵点A′在椭圆C上，∴

x 2 1

4

+m2=1，…②
联立方程①②解得：m=

y1

2

，同理解得：n=

y2

2

．
∴A′(x1，

y1

2

)、B′(x2，

y2

2

)．…（8分）
∵弦AB过定点M(0，

3

2

)，
∴x₁≠x₂且k_AM=k_BM，即

y1- 3 2

x1

=

y2- 3 2

x2

，
化简得

y1x2-y2x1

x2-x1

=

3

2

…（10分）
直线A′B′的方程为：y-

y1

2

=

y2 2 - y1 2

x2-x1

(x-x1)，即y=

1

2

y2-y1

x2-x1

x+

y1x2-y2x1

2(x2-x1)

，
由

y1x2-y2x1

x2-x1

=

3

2

得直线A′B′的方程为：y=

1

2

y2-y1

x2-x1

x+

3

4

，
∴弦A′B′必过定点M′(0，

3

4

)．…（12分）
解法二：由（Ⅰ）得：圆O的方程为：x²+y²=4．…（5分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵圆O上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的

1

2

倍可得到椭圆C，
又端点A与A′、B与B′的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，
∴A′(x1，

y1

2

)、B′(x2，

y2

2

)．…（8分）
由弦AB过定点M(0，

3

2

)，猜想弦A′B′过定点M′(0，

3

4

)．…（9分）
∵弦AB过定点M(0，

3

2

)，
∴x₁≠x₂且k_AM=k_BM，即

y1- 3 2

x1

=

y2- 3 2

x2

…①…（10分）
kA′M′=

y1 2 - 3 4

x1

=

1

2

y1- 3 2

x1

，kB′M′=

y2 2 - 3 4

x2

=

1

2

y2- 3 2

x2

，
由①得kA′M′=kB′M′，
∴弦A′B′必过定点M′(0，

3

4

)．…（12分）

点评：本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．