Question

已知在长方体AC′中，且AA′=1，AB=AD=2，
（1）求三棱锥A-A'BD的体积；
（2）若M，N分别是AD，BC的中点，求棱柱D′DM-C′CN的体积；
（3）求该长方体外接球的表面积．

Answer 1

分析：（1）根据三棱锥A-A'BD的体积公式，进行求解即可；
（2）根据锥体的体积公式即可求棱柱D′DM-C′CN的体积；
（3）根据长方体的体对角线和外接球半径之间的关系即可求球的表面积．

解答：解：（1）由长方体的性质知，三棱锥A'-ABD的高为AA'，
∴V三棱锥A′-ABD=

1

3

S△ABDAA′=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

，
（2）由长方体的性质知，DC为棱柱D'DM-C'CN的高，
又M，N分别为AD，AC的中点，
∴S△NCC′=

1

2

NC×CC′=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴棱柱D'DM-C'CN的体积为

1

2

×2=1．
（3）由长方体的性质知，长方体的体对角线为其外接球的直径，
又A'C²=A'A²+AC²=A'A²+AB²+AD²=1²+2²+2²=9，
∴A'C=3，所以外接球的半径为

3

2

，
故该长方体外接球的表面积为9π．

点评：本题主要考查三棱锥的体积的计算，以及长方体的体对角线和球外接球的直径之间的关系是解决本题的关键．