Question

已知奇函数f（x）在x＞0时，f(x)=

1

3

x3-x，f（x）在[-2，-

1

2

]上的值域为（　　）

• A．[-

  2

  3

  ，0]
• B．[0，

  2

  3

  ]
• C．[-

  2

  3

  ，

  2

  3

  ]
• D．[-

  11

  24

  ，

  2

  3

  ]

Answer 1

分析：利用导数先求函数f（x）在x∈[1，2]时的单调性，然后根据单调性可求函数在[

1

2

，2]上的最值，根据奇函数的对称性可求函数在[-2，-

1

2

]上的值域

解答：解：当x∈[

1

2

，2]时，f(x)=

1

3

x3-x，
∴f′（x）=x²-1
当x∈[1，2]时，f′（x）≥0，f（x）在[[1，2]单调递增；当x∈[

1

2

，1]时，f′（x）≤0，f（x）在[

1

2

，1]上单调递减
∴当x=1时，函数有最小值f（1）=-

2

3

，而f（

1

2

）＜f（2）=

2

3

∴-

2

3

≤y≤

2

3

∵函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称
f（x）在[-2，-

1

2

]上的值域为[-

2

3

，

2

3

]
故选C

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值，奇函数的对称性的应用是求解本题的关键．