Question

已知函数f(x)=a-

2

x

．
（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并用定义证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数的定义域关于原点对称，若f（x）=f（-x），则

4

x

=0，无解，故f（x）不是偶函数；若f（-x）=-f（x），则a=0，显然a=0时，f（x）为奇函数，由此得出结论．
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，设 x₁＜x₂＜0，证明f（x₂）-f（x₁）＞0，从而得出结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得

2

x

≠0，解得 x≠0，故函数f（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称．
由f(x)=a-

2

x

，可得f(-x)=a+

2

x

，
若f（x）=f（-x），则

4

x

=0，无解，故f（x）不是偶函数．
若f（-x）=-f（x），则a=0，显然a=0时，f（x）为奇函数．
综上，当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）不具备奇偶性
（Ⅱ）函数f（x）在（-∞，0）上单调递增；
证明：设 x₁＜x₂＜0，则f(x2)-f(x1)=(a-

2

x2

)-(a-

2

x1

)=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1x2

，
由x₁＜x₂＜0，可得 x₁x₂＞0，x₂ -x₁＞0，
从而

2(x2-x1)

x1x2

＞0，故f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断、证明，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．