Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF：FC=3：1．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；
（Ⅲ）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）由已知和勾股定理可得PA⊥AC，PA⊥AB，由线面垂直的判断可得PA⊥平面ABC，进而可得；（2）取PC中点G，由面面平行的判断可得；（3）可得△ABC的面积，棱锥的高即为PA=3，代入体积公式可得．

解答：（1）证明：∵PC²=PA²+AC²，PB²=PA²+AB²
∴PA⊥AC，PA⊥AB
∵AC∩AB=A，∴PA⊥平面ABC
又∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC
（2）取PC中点G，连接AG、BG，
∵PF：FC=3：1，∴GF=FC
又因为D、E分别是BC、AC的中点，
∴AG∥EF，BG∥DF，
又AG∩BG=G，EF∩EF=F，
∴平面ABG∥平面DEF；
（3）由题意可得△ABC的面积为

1

2

×5×

42-( 5 2 )2

=

5 39

2

由于PA⊥平面ABC，故棱锥的高即为PA=3
故三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

×

5 39

2

×3=

5 39

2

点评：本题考查线面垂直的判断和面面平行的判定，涉及三棱锥的体积的求解，属中档题．