Question

已知等差数列{a_n}满足a₂+a₃=10，前6项的和为42．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前x²-2x₀x+x₀²=0项和△=0，且

1

bn

=a1+a2+…+an，若S_n＜m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出等差数列{a_n}的首项a₁和公差d，根据等差数列的通项公式及前n项和公式化简已知的a₂+a₃=10，前6项的和为42，得到关于a₁和d的方程组，求出方程组的解求出a₁和d的值，写出数列{a_n}的通项公式；
（2）利用（1）求出的a₁和d的值，利用等差数列的前n项和公式表示出

1

bn

，进而求出b_n的通项公式，并把通项公式利用拆项法变形，列举出数列{b_n}的前n项和S_n，把拆项后的各项代入，抵消后即可求出S_n的通项公式，把求出的通项公式代入已知的不等式中，求出S_n的最大值即可得到m的取值范围，进而得到m的最小值．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则

2a1+3d=10 6a1+ 6×5 2 d=42

，（2分）
解得

a1=2 d=2

，（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n；（6分）
（2）因为

1

bn

=a1+a2+…+an=n（n+1）（7分）
∴bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（9分）
∴Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

，（11分）
因为S_n＜m恒成立，∴m＞（S_n）_max，即m≥1，
所以m的最小值为1．（14分）

点评：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键．是每年要考的一道高考题目．