Question

（2013•绍兴一模）已知函数f（x）=x²+（3-p）x+（1-p²）lnx（p∈R），
（1）若f（x）无极值点，求p的取值范围；
（2）设x₀为函数f（x）的一个极值点，问在直线x=x₀的右侧，函数y=f（x）的图象上是否存在点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），使得

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=3-p成立？若存在，求出x₁的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）=x²+（3-p）x+（1-p²）lnx求导f'（x）=2x+（3-p）+

1-p2

x

，再令f'（x）=0，得[x+（1-p）][2x+（1+p）]=0，根据f（x）无极值点，建立关于p的不等关系，求解即得p的取值范围；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），使得

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=3-p成立．再利用构造函数结合导数工具研究其单调，求出x₁的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x²+（3-p）x+（1-p²）lnx，
∴f'（x）=2x+（3-p）+

1-p2

x

，令f'（x）=0，得2x²+（3-p）x+（1-p²）=0，
即[x+（1-p）][2x+（1+p）]=0，∵f（x）无极值点，
则

p-1≤0 - 1+p 2 ≤0

或p-1=-

1+p

2

，
解得-1≤p≤1或p=

1

3

．
故p的取值范围：[-1，1]．
（2）因x＞0，由（1）f'（x）=0知，函数f（x）最多只有一个极值点x₀，且函数f（x）在x＞x₀时，是增函数，
由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=3-p＞0得p＜3，
又

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=(x1+x2)+3-p+(1-p2)

lnx2-lnx1

x2-x1

=3-p，
∴

1

p2-1

=

lnx2-lnx1

x2<sup>2</sup>-x1<sup>2</sup>

，
∴

2 x 2 1

p2-1

=

ln( x2 x1 )2

( x2 x1 )2-1

，∵x₂＞x₁＞0，∴

x2

x1

＞1，设t=(

x2

x1

)2，g（t）=t-1-lnt（t＞1），
则g'（x）=1-

1

t

，函数g（x）在（1，+∞）是增函数，又g（1）=0，∴g（t）＞g（1）=0，
∴(

x2

x1

)2-1＞ln(

x2

x1

)2，∴

ln( x2 x1 )2

( x2 x1 )2-1

＜1，即

2 x 2 1

p2-1

＜1，得-

2(p2-1)

2

＜x₁＜

2(p2-1)

2

，（p＜-1或1＜p＜3）
又A在直线x=x₀的右侧，且在函数y=f（x）的图象上，故
①当p＜-1时，x₀=-

1+p

2

，此时-

1+p

2

＜x₁＜

2(p2-1)

2

；
②当1＜p＜3时，x₀=p-1，此时p-1＜x₁＜

2(p2-1)

2

；
综上，存在点A，且当p＜-1时，-

1+p

2

＜x₁＜

2(p2-1)

2

；当1＜p＜3时，p-1＜x₁＜

2(p2-1)

2

．

点评：解决本题时要注意题目中所应用的函数的思想，要使的函数无极值点，表明该零点左右f′（x）同号即可，这种思想经常用到．