Question

【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+2a4＝a9，S6＝36．

（1）求an，Sn；

（2）若数列{bn}满足b1＝1，，求证：（n∈N*）．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n﹣1，Sn＝n2（2）证明见解析

【解析】

（1）设等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再结合等差数列的通项公式和求和公式，即可求解；

（2）讨论，将换为，相减得到，再由数列的裂项相消求和及不等式的性质，即可求解．

（1）设等差数列{an}的公差设为d，前n项和为Sn，且a2+2a4＝a9，S6＝36，

可得a1+d+2（a1+3d）＝a1+8d，即2a1＝d，

又6a1+15d＝36，即2a1+5d＝12，

解得a1＝1，d＝2，则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，Sn＝n+n（n﹣1）＝n2；

（2）证明：数列{bn}满足b1＝1，n，

当n＝1时，b1b2＝1，可得b2＝1，

n≥2时，bnbn﹣1＝n﹣1，

相减可得bn（bn+1﹣bn﹣1）＝1，即bn+1﹣bn﹣1，

当n≥2时，b3﹣b1+b4﹣b2+b5﹣b3+…+bn+1﹣bn﹣1

b1﹣b2+bn+bn+1≥﹣1+221；

当n＝1时，1＝21，不等式成立，

综上可得，（n∈N*）．