Question

如图1，ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠DAB=

π

2

，AB=AD=2BC=2

5

，M是AB的中点，AC与MD交于O点，把△AMD沿着MD折起，使得二面角A-MD-C为直二面角形成图2．
（Ⅰ）求证：平面MDA⊥平面OAC；
（Ⅱ）求直线AD与平面AMC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）欲证平面AOC⊥平面MDA，根据面面垂直的判定定理可知在平面MDA内一直线与平面AOC垂直，而根据题意可得MD⊥平面AOC；
（Ⅱ）建系以OC为x轴，以OD为y轴，以OA为z轴建立空间直角坐标系，求出平面AMC的法向量，以及直线AD所在向量，然后根据两向量的夹角公式求出所成角的正弦的，即可求出直线AD与平面AMC所成角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵AB=AD，AM=BC，∠BAC=∠MAD，∴△AMD≌△ABC，∴∠BAC=∠ADM，
又∵∠BAC+∠CAD=90°，∴∠ADM+∠CAD=90°，∴AC⊥MD，∴AO⊥MD，OC⊥MD，
∴MD⊥平面AOC，∴平面AOC⊥平面MDA．
（Ⅱ）如图建系，

则C（3，0，0），A（0，0，2），D（0，4，0），M（0，-1，0），
∴

MA

=(0，1，2)，

MC

=(3，1，0)，设

n

⊥平面AMC，

n

=（x，y，z），
则

n • MA =y+2z=0 n • MC =y+3x=0

，∴

n

=(

2

3

，-2，1)，
∵

AD

=(0，4，-2)，∴sinθ=

3 5

7

，，则cosθ=

2

7

．
∴直线AD与平面AMC所成角的余弦值为

2

7

．

点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面所成角的计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．