题目内容

关于函数f（x）=-2sin2x+sin2x+1，给出下列四个命题：
①f（x）在区间[
π
8
，
5
8
π]上是减函数；
②直线x=
π
8
是函数图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可由函数y=
2
sin2x的图象向左平移
π
4
个单位得到；
④若x∈[0，
π
2
]，则f（x）的值域是[0，
2
]；
⑤函数f（x）关于(
π
4
，0)对称．
其中正确命题的序号是
①②
①②
．
分析：首先利用二倍角公式和辅角公式整理函数式，在函数式的最简形式下进行性质的运算，写出函数的减区间，可判断①是否正确，代入x的值判断函数是否取最值，可判断②是否正确，根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，可判断④的真假；根据自变量的值求出函数值，可以判断④是否正确．代入x的值判断函数值是否为0，可判断⑤是否正确；
解答：解：f（x）=-2sin2x+sin2x+1=sin2x+cos2x=
2
sin（2x+
π
4
）
由2x+
π
4
∈[zkπ+
π
2
，2kπ+
3π
2
]得x∈[kπ+
π
8
，kπ+
5π
8
]，
当k=0时，区间[
π
8
，
5
8
π]是函数的减区间，故①正确，
当x=
π
8
时，y=
2
函数取最大值，故x=
π
8
是函数图象的一条对称轴，故②正确，
函数y=
2
sin2x的图象向左平移
π
8
个单位可得函数f（x）的图象，故③不正确，
当x∈[0，
π
2
]，f（x）的值域是[-1，
2
]，故④不正确，
当x=
π
4
时，y=1，函数值不为0，故(
π
4
，0)不是函数的对称中心，故⑤不正确，
故答案为：①②
点评：本题考查三角函数的恒等变形和函数的性质的运算，本题完全符合高考题目的方向，可以作为一个解答题目出现，注意三角函数的整理过程不要出错，否则后面的运算都被影响．
练习册系列答案
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8、定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=10x-1，下面关于函数f（x）的判断：
①当x∈[-1，0]时，f（x）=10-x-1；
②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③对任意x1，x2∈（1，2），满足（x2-x1）（f（x2）-f（x1））＜0；
④当x∈[2k，2k+1]，k∈Z时，f（x）=10x-2k-1．其中正确判断的个数为（　　）
关于函数f（x）=lg
x
x2+1
，有下列结论：①函数f（x）的定义域是（0，+∞）；②函数f（x）是奇函数；③函数f（x）的最小值为-lg2；④当0＜x＜1时，函数f（x）是增函数；当x＞1时，函数f（x）是减函数．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A、①②③B、①③④
C、①④D、②③
给出定义：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，
1
2
]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=
k
2
(k∈Z)对称；
③函数y=f（x）是偶函数；
④函数y=f（x）在[-
1
2
，
1
2
]上是增函数． 其中正确的命题的序号是
①②③
①②③
．
关于函数f（x）=cos4x-sin4x有下面有五个命题，其中真命题的序号是
①②
①②
．①最小正周期是π；    ②向右平移
π
4
可以得到y=sin2x的图象；③在[0，
π
2
]上是增函数； ④同一坐标系中，和函数y=x的图象有三个公共点．
（2009•奉贤区二模）关于函数f（x）=xarcsin2x有下列命题：①f（x）的定义域是R；②f（x）是偶函数；③f（x）在定义域内是增函数；④f（x）的最大值是
π4
，最小值是0．其中正确的命题是
②④
②④
．（写出你所认为正确的所有命题序号）

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