Question

已知二次函数f（x）=2kx²-2x-3k-2，x∈[-5，5]．
（1）当k=1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数k的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数．

Answer 1

分析：（1）当k=1时，f（x）=2x²-2x-5，可得区间（-5，

1

2

）上函数为减函数，在区间（

1

2

，5）上函数为增函数．由此可得[f（x）]_max=55，[f（x）]_min=-

11

2

；
（2）由题意，得函数y=f（x）的单调减区间是[a，+∞），由[-5，5]?[a，+∞）解出a≤-5，即为实数a的取值范围．

解答：解：（1）当k=1时，函数表达式是f（x）=2x²-2x-5，
∴函数图象的对称轴为x=

1

2

，
在区间（-5，

1

2

）上函数为减函数，在区间（

1

2

，5）上函数为增函数．
∴函数的最小值为[f（x）]_min=f（

1

2

）=-

11

2

，
函数的最大值为f（5）和f（-5）中较大的值，比较得[f（x）]_max=f（-5）=55．
综上所述，得[f（x）]_max=55，[f（x）]_min=-

11

2

．
（2）∵二次函数f（x）图象关于直线x=

1

2k

对称，
∴要使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，
则必有

1

2k

≤-5或

1

2k

≥5，
解得-

1

10

≤k＜0或0＜k≤

1

10

．
即实数k的取值范围为[-

1

10

，0）∪（0，

1

10

]．

点评：本题给出含有参数的二次函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值，着重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识．