Question

如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA₁＝2，M、N分别是A₁B₁，A₁A的中点，

(1)求的模；

(2)求cos〈，〉的值；

(3)求证：A₁B⊥C₁M；

(4)求CB₁与平面A₁ABB₁所成的角的余弦值.

Answer 1

如图，建立空间直角坐标系Cxyz.

(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)，

∴||＝＝.

(2)依题意得A₁(1,0,2)，C(0,0,0)，B₁(0,1,2)

∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，∴·＝3，

||＝，||＝，∴cos〈，〉

＝＝.

(3)依题意，得C₁(0,0,2)、M(，，2)，＝(－1,1，－2)，＝(，，0)，∴·＝－＋＋0＝0，∴⊥，∴A₁B⊥C₁M.

(4)方法一：取AB中点O，连结CO，B₁O，则CO⊥平面A₁ABB₁，

∴∠CB₁O是CB₁与平面A₁ABB₁所成的角.

∵CO＝AB＝，B₁C＝＝，

∴B₁O＝＝＝＝，

∴cos∠CB₁O＝＝×＝.

即CB₁与平面A₁ABB₁所成角的余弦值是.

方法二：设平面A₁ABB₁的一个法向量是n＝(x，y，z)，

∵＝(1，－1,0)，＝(0,0,2)，

解得，取x＝y＝1，则n＝(1,1,0)，

直线CB₁的方向向量是n₁＝(0,1,2)，

∴cos〈n，n₁〉＝＝＝，

∴sin〈n，n₁〉＝＝，

∴直线CB₁与平面A₁ABB₁所成角的余弦值是.