Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=

1

2

an•an+1(n∈N*)，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足(2an-1)(2bn-1)=1，T_n为{b_n}的前n项和，求证：2T_n＞log₂（2a_n+1）n∈N．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据Sn=

1

2

an•an+1(n∈N*)及an=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

，可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的结果代入(2an-1)(2bn-1)=1，求得bn=log2

2n

2n-1

，利用对数的运算性质求得T_n并代入2T_n-log₂（2a_n+1），利用比商法比较真数的大小即可证明结论．

解答：解：（Ⅰ）已知式即Sn=

1

2

anan+1，故an+1=Sn+1-Sn=

1

2

an+1an+2-

1

2

anan+1．
由条件知a_n+1≠0，所以a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
由于a1=S1=

1

2

a1a2，且a₁=1，故a₂=2．
于是a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，a_2m=2+2（m-1）=2m，
所以a_n=n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由(2an-1)(2bn-1)=1，得(2n-1)(2bn-1)=1，2bn=

2n

2n-1

，
故bn=log2

2n

2n-1

．
从而Tn=b1+b2++bn=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)．
2Tn=2log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2
因此2T_n-log₂（2a_n+1）=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2-log₂（2n+1）
=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2+log2

1

2n+1

=log2[(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2•

1

2n+1

]．
设f(n)=(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

)2•

1

2n+1

，
则f(n+1)=(

2

1

•

4

3

•

6

5

••

2n

2n-1

•

2n+2

2n+1

)2•

1

2n+3

，
故

f(n+1)

f(n)

=

2n+1

2n+3

•(

2n+2

2n+1

)2=

(2n+2)2

(2n+3)(2n+1)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1，
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特别地f(n)≥f(1)=

4

3

＞1，
从而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以2T_n＞log₂（2a_n+1）．

点评：此题是个难题．考查根据数列的递推公式利用构造法求数列的通项公式，及数列的求和问题，题目综合性强，特别是问题（Ⅲ）的设置，数列与不等式恒成立问题结合起来，能有效考查学生的逻辑思维能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，体现了转化的思想和分类讨论的思想．