Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+a²（a＞0）的单调减区间是（1，2）且满足f（0）=1．
（1）f（x）的解析式；
（2）若对任意的m∈（0，2]，关于x的不等式f(x)＜

1

2

m3-m•lnm-mt+3在x∈[2，+∞）时有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=3ax²+2bx+c．由f（x）的单调减区间是（1，2），知

f′(1)=3+2b+c=0 f′(2)=12+4b+c=0

，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由（1）得f'（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），当x∈[2，+∞）时，f'（x）≥0，故f（x）在[2，+∞）单调递增，所以f（x）_min=f（2）=3．要使关于x的不等式f(x)＜

1

2

m3-m•lnm-mt+3在x∈[2，+∞）时有解，只需t＜

1

2

m2-lnm在m∈（0，2]恒成立．由此能求出实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+1（a＞0），
f（0）=1⇒a²=1，又由a＞0，则a=1，
∴f'（x）=3ax²+2bx+c．
∵f（x）的单调减区间是（1，2），
∴

f′(1)=3+2b+c=0 f′(2)=12+4b+c=0

，（3分）
∴b=-

9

2

，c=6．
∴f(x)=x3-

9

2

x2+6x+1．（5分）
（2）由（1）得f'（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
当x∈[2，+∞）时，f'（x）≥0，
∴f（x）在[2，+∞）单调递增，
∴f（x）_min=f（2）=3．
要使关于x的不等式f(x)＜

1

2

m3-m•lnm-mt+3在x∈[2，+∞）时有解，
即

1

2

m3-m•lnm-mt+3＞f(x)min=3，（7分）
即mt＜

1

2

m3-mlnm对任意m∈（0，2]恒成立，
只需t＜

1

2

m2-lnm在m∈（0，2]恒成立．
设h(m)=

1

2

m2-lnm，m∈（0，2]，
则t＜h（m）_min．（9分）
h′(m)=m-

1

m

=

(m-1)(m+1)

m

，
当m∈（0，2]时，h（m）在（0，1）上递减，在（1，2]上递增，
∴h(m)min=h(1)=

1

2

．
∴t＜

1

2

．（12分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．易错点是要使关于x的不等式f(x)＜

1

2

m3-m•lnm-mt+3在x∈[2，+∞）时有解，只需t＜

1

2

m2-lnm在m∈（0，2]恒成立．解题时要认真审题，仔细解答．