Question

已知函数f(x)=

3

-2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）求f（x）在[-

4

3

π，2π]上的单调增区间．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的二倍角公式及和、差角公式将函数f（x）化为2cos(

x

2

+

π

6

)，利用三角函数的周期公式求出周期．
（II）令π+2kπ≤

x

2

+

π

6

≤2π+2kπ，k∈Z求出x的范围，写出区间形式即为f（x）在[-

4

3

π，2π]上的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

-2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

．
=

3

-sin

x

2

- 

3

(1-cos

x

2

)
=

3

cos

x

2

-sin

x

2

=2cos(

x

2

+

π

6

)．…（4分） 
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π．                              …（6分）
（Ⅱ）令π+2kπ≤

x

2

+

π

6

≤2π+2kπ，k∈Z得
：

5

3

π+4kπ≤x≤

11

3

π+4kπ，k∈Z…（10分）
∴在f（x）在[-

4

3

π，2π]上的单调增区间为[-

4

3

π，-

π

3

]，[

5

3

π，2π]…（14分）

点评：解决三角函数的性质问题，应该先化简三角函数为只含一个角一个函数名的形式，然后利用整体角处理的思想来解决．