Question

已知函数f(x)=-x²+2x+3.

(1)画出f(x)的图像；

(2)根据图像写出函数f(x)的单调区间；

(3)利用定义证明函数f(x)=-x²+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；

(4)当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.

Answer 1

思路分析：本题主要考查二次函数的图像、函数的单调性及其综合应用.(1)画二次函数的图像时，重点确定开口方向和对称轴的位置；(2)根据单调性的几何意义，写出单调区间；(3)证明函数的增减性，先在区间上取x₁＜x₂，然后作差f(x₁)-f(x₂)，判断这个差的符号即可；(4)讨论对称轴和区间［m,+∞)的相对位置.

解：(1)函数f(x)=-x²+2x+3的图像如下图所示.

(2)由函数f(x)的图像，得在直线x=1的左侧图像是上升的，在直线x=1的右侧图像是下降的，故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1］，单调递减区间是(1,+∞).

(3)设x₁、x₂∈(-∞,1］，且x₁＜x₂，则有

f(x₁)-f(x₂)=(-x₁²+2x₁+3)-(-x₂²+2x₂+3)

=(x₂²-x₁²)+2(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(2-x₁-x₂).

∵x₁、x₂∈(-∞,1］，且x₁＜x₂，

∴x₁-x₂＜0,x₁+x₂＜2.

∴2-x₁-x₂＞0.

∴f(x₁)-f(x₂)＜0.

∴f(x₁)＜f(x₂).

∴函数f(x)=-x²+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.

(4)函数f(x)=-x²+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(-∞,1］.

绿色通道：讨论二次函数的单调性时，要结合二次函数的图像，通过确定对称轴和单调区间的相对位置来解决.