Question

（2006•成都一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E是PB的中点．
（I）求异面直线PD、AE所成的角；
（II）在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；
（III）求二面角F-PC-E的大小．

Answer 1

分析：（I）先建立空间直角坐标系，求出个对应点的坐标，以及

PD

，

AE

的坐标，最后代入向量的数量积计算公式即可；
（II）先设出点F的坐标，进而求出直线EF，BC，PC的方向向量，由向量数量积为0，求出点F的坐标，判断出点F的位置，即可得到答案．
（III）先根据PD⊥平面ABCD，得到CD是PC在平面ABCD上的射影．进而得PC⊥BC；再取PC的中点G，连接EG，则EG∥BC，进而得EG⊥PC，通过分析得∠FGE为二面角F-PC-E的平面角，最后在三角形FGE中求出∠FGE；即可得到平面PCF与平面PCE的夹角的余弦值，进而求出结论．

解答：解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A （a，0，0），B（a，a，0），
C（0，a，0），P（0，0，a）E(

a

2

，

a

2

，

a

2

)．
∴

AE

=(-

a

2

，

a

2

，

a

2

)，

DP

=(0，0，a)．
∴

AE

•

DP

=-

a

2

×0+

a

2

×0+

a

2

×a=

a2

2

．
又∵|

DP

|=a，|

AE

|=

3

2

a，
∴cos＜

AE

，

DP

＞=

AE • DP

| AE| •| DP |

=

a2 2

3 2 a•a

=

3

3

．
故异面直线AE、DP所成角为arccos

3

3

．                    （5分）
（II）∵F∈平面PAD，故设F（x，0，z），则有

EF

=(x-

a

2

，-

a

2

，z-

a

2

)．
∵EF⊥平面PBC，∴

EF

⊥

BC

且

EF

⊥

PC

．
∴

EF • BC =0 EF • PC =0.

又∵

BC

=(-a，0，0)，

PC

=(0，a，-a)，
∴

(-a)(x- a 2 )=0 (- a 2 )•a+(-a)•(z- a 2 )=0.

从而

x= a 2 z=0.

∴F(

a

2

，0，0)，取AD的中点即为F点．                （4分）
（III）∵PD⊥平面ABCD，
∴CD是PC在平面ABCD上的射影．
又∵CD⊥BC，由三垂线定理，有PC⊥BC．
取PC的中点G，连接EG，则EG∥BC．
∴EG⊥PC．
连接FG．
∵EF⊥平面PBC，EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，
∴FG⊥PC．
∴∠FGE为二面角F-PC-E的平面角．∵G(0，

a

2

，

a

2

)，
∴|

GF

|=

3

2

a．
∴cos∠FGE=

EG

FG

=

a 2

3 2 a

=

3

3

．
∴二面角F-PC-E的大小为arccos

3

3

．                         （5分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，以及异面直线所成的角，其中建立恰当的空间直角坐标系，将线线垂直问题，转化为向量垂直问题是解答本题第二问的关键．