Question

【题目】已知函数，其中，为的导函数，设，且恒成立.

（1）求的取值范围；

（2）设函数的零点为，函数的极小值点为，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）先对函数求导，得到，推出，求导，得到，解对应不等式，得到单调性，求出其最小值，再根据恒成立，即可得出结果；

（2）先设，求导得.

设，对其求导，判定单调性，从而得到函数单调性，得到是函数的极小值点，得到，再由（1）得时，，推出所以，得到，得到函数在区间上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.

（1）由题设知，，

，，

由，得，所以函数在区间上是增函数；

由，得，所以函数在区间上是减函数.

故在处取得最小值，且.

由于恒成立，所以，得，

所以的取值范围为；

（2）设，则.

设，

则，

故函数在区间上单调递增，由（1）知，，

所以，，

故存在，使得，

所以，当时，，，函数单调递减；

当时，，，函数单调递增.

所以是函数的极小值点.因此，即.

由（1）可知，当时，，即，整理得，

所以.

因此，即.

所以函数在区间上单调递增.

由于，即，

即，

所以.

又函数在区间上单调递增，所以.