Question

已知曲线C1

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数），C2：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数），
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=

π

2

，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C3：

x=3+2t y=-2+t

（t为参数）距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）把参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程，从而得到它们分别表示什么曲线．
（2）求出点p（-4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），则 PQ中点M（4cosθ-2，

4+3sinθ

2

）．利用点到直线的距离公式求出PQ中点M到直线C3：

x=3+2t y=-2+t

（t为参数）距离
为

|5sin(θ+∅)-13|

5

，再由正弦函数的值域求得它的最小值．

解答：解：（1）∵曲线C1

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数t，化为普通方程 （x+4）²+（y-3）²=1，
表示以（-4，3）为圆心，以1为半径的圆．
∵C2：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数t，化为普通方程为

x2

64

+

y2

9

=1，
表示焦点在x轴上的一个椭圆．
（2）C₁上的点P对应的参数为t=

π

2

，Q为C₂上的动点，可得点p（-4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），则 PQ中点M（4cosθ-2，

4+3sinθ

2

）．
直线C₃ 即 x-2y-7=0．故PQ中点M到直线C₃：x-2y-7=0 的距离为 

|4cosθ-2-2× 4+3sinθ 2 -7|

1+4

=

|4cosθ-3sinθ-13|

5

 
=

|5sin(θ+∅)-13|

5

≥

|5-13|

5

=

8 5

5

．
故PQ中点M到直线C3：

x=3+2t y=-2+t

（t为参数）距离的最小值为

8 5

5

．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．