Question

解不等式：
①|2x-1|＜|x-1|；     
②|

x+2

x-1

|＞1；
③|x+1|+|x+2|＞3；   
④|x+2|-|x-1|+3＞0．

Answer 1

分析：对于①②，两端平方后作差整理即可；对于③④，可通过对x分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式．

解答：解：①|2x-1|＜|x-1|?4x²-4x+1＜x²-2x+1⇒3x²-2x＜0⇒0＜x＜

2

3

．
∴|2x-1|＜|x-1|的解集为{x|0＜x＜

2

3

}；
②|

x+2

x-1

|＞1?(

x+2

x-1

)2＞1⇒x²+4x+4＞x²-2x+1且x≠1，
解得x＞-

1

2

且x≠1．
∴原不等式的解集为：{x|-

1

2

＜x＜1或x＞1}；
③令f（x）=|x+1|+|x+2|，则f（x）=

-2x-3，x＜-2 3，-2≤x≤-1 2x+3，x＞-1

，
∵|x+1|+|x+2|＞3，
∴当x＜-2时，-2x-3＞3，
解得x＜-3；
当-2≤x≤-1时，|x+1|+|x+2|=3，不符合题意；
当x＞-1时，2x+3＞3，解得x＞0．
∴原不等式的解集为：{x|x＜-3或x＞0}；
④令g（x）=|x+2|-|x-1|+3，则g（x）=

0，x＜-2 2x，-2≤x≤1 6，x＞1

，
∵|x+2|-|x-1|+3＞0，
∴当-2≤x≤1时，2x＞0，
∴0＜x≤1；
当x＞1时，|x+2|-|x-1|+3=6＞0；
∴x＞1；
∴原不等式的解集为：{x|x＞0}．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，根据不同的形式，采用“平方法”与“分类讨论”是解决问题的关键，考查运算能力，属于中档题．