Question

已知的角所对的边份别为，且

（1）求角的大小；

（2）若，求的周长的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用正弦定理、三角形内角和定理及同角三角函数关系，将条件化为

sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC，再利用两角和与差的三角函数公式化简，求得cosA＝，从而确定角的大小；

（2）由题设利用正弦定理将的周长表示民关于角B的三角函数，然后利用三角函数的性质求周长的取值范围．

试题解析：【解析】
（1）由acosC＋c＝b和正弦定理得，

sinAcosC＋sinC＝sinB，

又sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC，

∴sinC＝cosAsinC，

∵sinC≠0，∴cosA＝，

∵0<A<π，∴A＝．

（2）由正弦定理得，b＝＝sinB，c＝＝sinC，

则l＝a＋b＋c＝1＋ （sinB＋sinC）

＝1＋ [sinB＋sin（A＋B）]

＝1＋2（sinB＋cosB）＝1＋2sin（B＋）．

∵A＝，∴B∈（0，），∴B＋∈（，），

∴sin（B＋）∈（，1]，

∴△ABC的周长l的取值范围为（2,3]．

考点：1、正弦定理；2、三角函数的性质；3、同角三角函数的基本关系；4、两角和与差的三角函数．