Question

若（n∈N），且，求：
（1）n的值
（2）a₁+a₂+…+a_n
（3）（2-x）ⁿ的展开式中所有偶数项系数的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可把原方程变形为，可解出n的值．再由，
进一步确定n的值．
（2）令x=1得a+a₁+a₂+…a_n=1．令x=0得，从而求得a₁+a₂+…+a_n的值．
（3）所有偶数项系数之和即为：a₁+a₃+a₅+a₇，令x=1得a+a₁+a₂+…a_n=1，令x=-1，可得，联立两式解出偶数项的系数和．
解答：解：（1）由题意可把原方程变形为，可解出n=7或n=14．
又因为所以2≤n≤9，∴n=7．…（4分）
（2）令x=1得a+a₁+a₂+…a_n=1．
令x=0得，∴a₁+a₂+…+a_n=-127．…（8分）
（3）所有偶数项系数之和即为：a₁+a₃+a₅+a₇
令x=1得a+a₁+a₂+…a_n=1．
令
联立两式解出偶数项的系数和为 ．…（12分）
点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．