题目内容

（理）设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积．已知函数y=sinnx在 $数学公式$ 上的面积为 $数学公式$ ，则函数y=cos3x+1在 $数学公式$ 上的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：将y=cos3x+1化成y=sin（3x+ $\text{[math]}$ ）+1，令t=x+ $\text{[math]}$ ，则y=sin3t+1．t∈[ $\text{[math]}$ ，π]．函数y=sinnx与函数y=sin3t类比，可以得出函数y=sin3t在[0， $\text{[math]}$ ]上的面积为 $\text{[math]}$ ，在[0， $\text{[math]}$ ]上的面积为在[0， $\text{[math]}$ ]上的面积的一半，等于 $\text{[math]}$ ．再结合图象，准确地利用已知数据表示出阴影面积并计算即可．
解答：y=cos3x+1=sin（3x+ $\text{[math]}$ ）+1，令t=x+ $\text{[math]}$ ，则y=sin3t+1．t∈[ $\text{[math]}$ ，π]
在函数y=sinnx中，令n=3，得出函数y=sin3x在[0， $\text{[math]}$ ]上的面积为 $\text{[math]}$ ．在[0， $\text{[math]}$ ]上的面积为在[0， $\text{[math]}$ ]上的面积的一半，等于 $\text{[math]}$ ．

函数y=cos3t+1图象由y=sin3t图象向上平移一个1个单位得到．
阴影部分面积为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查不规则图象的面积求解，要充分利用已知信息，将所求问题进行转化．本题首先将函数名称由余弦化成正弦，再进行换元，以满足已知信息模型，在具体求解时，将不规则部分利用规则部分与已知数值表示．

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（理）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．

（理）设函数f（x）是定义在R上的以5为周期的奇函数，若f(2)＞0，f(3)=

，则a的取值范围是（　　）

A．（-2，3）

B．（-3，2）

C．（-∞，3）∪（2，+∞）

D．（-2，0）∪（3，+∞）

（理）设函数f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a为常数）．
（1）当a=2时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＞-2，且函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（3）若a≥2，不等式f（x）≥ab²恒成立，求实数b的取值范围．

（理）设函数f（x）=a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+a_n•sin（x+α_n），其中a_i、α_i（i=1，2，…，n，n∈N^*，n≥2）为已知实常数，x∈R．
下列关于函数f（x）的性质判断正确的命题的序号是

．
①若f(0)=f(

)=0，则f（x）=0对任意实数x恒成立；
②若f（0）=0，则函数f（x）为奇函数；
③若f(

)=0，则函数f（x）为偶函数；
④当f2(0)+f2(

)≠0时，若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=kπ（k∈Z）．

（2006•松江区模拟）（理）设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积．已知函数y=sinnx在[0，

]上的面积为

(n∈N*)，则函数y=cos3x+1在[0，

]上的面积为