Question

已知a＞0，函数f（x）=ax-bx².

（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1,证明a≤2;

（2）当b＞1时，证明对任意x∈［0,1］,|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2;

（3）当0＜b≤1时，讨论对任意x∈［0,1］,|f（x）|≤1的充要条件.

Answer 1

（1）证明：依题意设对任意x∈R都有f（x）≤1,?

∵f（x）=-b（x-）²+,?

∴f（）=b≤1.

∴x∈R,f（x）_max=.

∵b＞0,x∈R,f（x）≤1,?

故≤1,∴a≤2.

（2）证明：仿照（1）的方法可证明.

（3）解析：∵a＞0,0＜b≤1时，对任意x∈［0,1］，有f（x）=ax-bx²≥-b≥-1,即f（x）≥-1;

f（x）≤1f（1）≤1a-b≤1,即a≤1+b.而a≤1+bf（x）≤（1+b）x-bx²≤1,即f（x）≤1.

∴当a＞0,0＜b≤1时，对任意x∈［0,1］, |f（x）|≤1的充要条件是a≤1+b.