Question

设M_n={（十进制）n位纯小数0.

.

a1a2…an

|a_i只取0或1（i=1，2，…，n-1），a_n=1}，T_n是M_n中元素的个数，S_n是M_n中所有元素的和，则

lim

n→∞

Sn

Tn

=

1

18

．

Answer 1

分析：根据a_i只取0或1（i=1，2，…，n-1），可求M_n中元素的个数；在每一位（从第一位到第n-1位）小数上，数字0与1各出现2^n-2次，第n位则1出现2^n-1次，可求S_n，由此可得结论．

解答：解：由于a_i只取0或1（i=1，2，…，n-1），T_n是M_n中元素的个数，所以T_n=2^n-1；
在每一位（从第一位到第n-1位）小数上，数字0与1各出现2^n-2次，第n位则1出现2^n-1次
∴S_n=2^n-2×0.11…1+2^n-1×10^-n，
∴

lim

n→∞

Sn

Tn

=

1

2

×

0.1

1-0.1

=

1

2

×

1

9

=

1

18

故答案为：

1

18

．

点评：本题考查数列的极限，考查等差数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．