Question

设椭圆=1的焦点为F₁、F₂,P是椭圆上任意一点,一条斜率为的直线交椭圆于A、B两点,如果当a变化时,总可同时满足:

①∠F₁PF₂的最大值为;

②直线l:ax+y+1=0平分线段AB.

求a的取值范围.

Answer 1

解:由椭圆的定义及余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=(|PF₁|+|PF₂|)²-

2|PF₁|·|PF₂|(1+cos∠F₁PF₂).

∴2|PF₁||PF₂|(1+cos∠F₁PF₂)=4a²-4c²=4b².

∵|PF₁||PF₂|≤()²,

∴2()²(1+cos∠F₁PF₂)≥4b².

∴cos∠F₁PF₂≥,当且仅当|PF₁|=|PF₂|时取等号.由于∠F₁PF₂的最大值为,

∴=.

∴3a²=4b²,从而椭圆方程为3x²+4y²=3a².

设AB的方程为y=x+m,代入椭圆方程得4x²+4mx+4m²-3a²=0.

由Δ=16m²-4×4(4m²-3a²)＞0a²＞m².而AB的中点M(-,)在l上,

∴-+1=0,解得m=.

代入a²＞m²,解得a＞.

解法二:由数形结合,点P为椭圆短轴端点时,∠F₁PF₂最大.

由∠F₁PF₂=,=cos=,

∴b²=a².

(以下同上).