Question

已知数列{a_n}前n项的和为S_n，且满足an=n2 (n∈N*)．
（Ⅰ）求s₁、s₂、s₃的值；
（Ⅱ）用数学归纳法证明sn=

n(n+1)(2n+1)

6

 (n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n=n²，n∈N^*即可求得s₁、s₂、s₃的值；
（Ⅱ）（1）当n=1时，证明左边=右边；（2）假设n=k（k∈N^*）时结论成立，去证明即n=k+1时，等式也成立即可（需用上归纳假设）．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n=n²，n∈N^*
∴s₁=a₁=1，s₂=a₁+a₂=1+4=5，s₃=a₁+a₂+a₃=1+4+9=14．…（6分）
（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左边=s₁=1，
右边=

1×(1+1)(2+1)

6

=1，
所以等式成立．…（8分）
（2）假设n=k（k∈N^*）时结论成立，即S_k=

k(k+1)(2k+1)

6

，…（10分）
那么，S_k+1=S_k+（k+1）²
=

k(k+1)(2k+1)

6

+（k+1）²
=

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2

6

=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

=

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

6

即n=k+1时，等式也成立．…（13分）
根据（1）（2）可知对任意的正整数n∈N^*都成立．…（14分）

点评：本题考查数学归纳法，考查推理分析与论证的能力，用上归纳假设是关键，属于中档题．