题目内容

已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
（Ⅰ）求C1、C2的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由
解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，
据此验证4个点知（3，﹣2）、（4，﹣4）在抛物线上，
易求C2：y2=4x
设C1：，
把点（﹣2，0）（）代入
得：解得
∴C1方程为
（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x﹣1），
与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）
由消掉y，
得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，
于是，①
y1y2=k（x1﹣1）×k（x1﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]
即②
由，即，
得x1x2+y1y2=0（*），
将①、②代入（*）式，
得，
解得k=±2；
所以存在直线l满足条件，
且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．
练习册系列答案
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已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；
（Ⅱ）若
AM
=
1
2
MB
，求直线l的方程；
（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．
已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
   C1  C2
 x  2  
2
  4  3
 y  0  
2
2
  4 -2
3
则C1、C2的标准方程分别为
 
、
 
．
（2013•江门二模）已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，直线l过点M（4，0）．
（1）写出抛物线C2的标准方程；
（2）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1C的长轴长的最小值．
（2011•中山市三模）已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 1 -
5
 2
2
y -2
2
 0 -4
15
5
（Ⅰ）求C1、C2的标准方程；
（Ⅱ）过点曲线的C2的焦点B的直线l与曲线C1交于M、N两点，与y轴交于E点，若
EM
=λ1
MB
，
EN
=λ2
NB
，求证：λ1+λ2为定值．
已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在y轴上，C1的中心和C2 的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 0 -1
2
 4
y -2
2
1
16
 -2 1
（Ⅰ）求分别适合C1，C2的方程的点的坐标；
（Ⅱ）求C1，C2的标准方程．

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