Question

已知函数f（x）=lg（x²+tx+1），（t为常数，且t＞-2）
（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）令g（x）=x²+tx+1，对称轴方程为x=-

t

2

，利用对称轴x=-

t

2

与区间[0，2]的位置关系进行分类讨论能求出f（x）的最小值．
（2）假设存在．由题设条件得

a2+ta+1=a b2+tb+1=b a≠b

，由此能求出实数t的取值范围．

解答：解：（1）令g（x）=x²+tx+1，对称轴方程为x=-

t

2

，
∵x∈[0，2]，∴由对称轴x=-

t

2

与区间[0，2]的位置关系进行分类讨论：
①当-

t

2

≤0，即t≥0时，g（x）min=g（0）=1，∴f（x）min=0．
②当0＜-

t

2

＜2，即-4＜t＜0时，g（x）min=g（-

t

2

）=1-

t2

4

，
考虑到g（x）＞0，所以-2＜t＜0，f（x）min=f（-

t

2

）=lg（1-

t2

4

）；
③当-

t

2

≥2，即t≤-4时，g（x）min=g（2）=5+2t，
考虑到g（x）＞0，∴f（x）没有最小值．
综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；
当t＞-2时，f（x）_min=

lg(1- t2 4 )，-2＜t＜0 0，t≥0

．
（2）假设存在．
由题设条件，得

a2+ta+1=a b2+tb+1=b a≠b

，
等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，
令h（x）=x²+（t-1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点
∴

h(0)＞0 h(2)＞0 △＞0 0＜- b 2a ＜2

，即

1＞0 t＞- 3 2 (t-1)2-4＞0 0＜- t-1 2 ＜2

，
解得-

3

2

＜t＜-1．
故实数t的取值范围是（-

3

2

，-1）．

点评：本题主要考查对数函数定义域的求解，复合函数单调性的应用及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意考虑对称轴与区间位置关系的讨论，二次方程的实根分布问题的应用．