Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若关于x的方程f(x)=-

5

2

x+b在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x在x=0处取得极值，则有f'（x）=0，从而求解；
（2）由由f'（x）＞0得增区间；由f'（x）＜0得减区间；
（3）将方程f(x)=-

5

2

x+b转化为g(x)=f(x)-(-

5

2

x+b)，利用根的分布求解．

解答：解：（1）由已知得f′(x)=

1

x+a

-2x-1=

1-2x(x+a)-(x+a)

(x+a)

，
∵f'（x）=0∴

1-a

a

=0∴a=1，
（2）由（1）得f′(x)=

1-2x(x+1)-(x+1)

x+1

=

-2x(x+ 3 2 )

x+1

(x＞-1)
由f'（x）＞0得-1＜x＜0，由f'（x）＜0得x＞0，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）；
（3）令g(x)=f(x)-(-

5

2

x+b)=ln(x+1)-x2+

3

2

x-b，x∈(0，2)
则g′(x)=

1

x+1

-2x+

3

2

=

-4x2-x+5

2(x+1)

=-

2(x+ 5 4 )(x-1)

x+1

，
令g'（x）=0得x=1或x=-

5

4

（舍），
当0＜x＜1时g'（x）＞0，
当1＜x＜2时g'（x）＜0即g（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，
方程f(x)=-

5

2

x+b在区间（0，2）上有两个不等实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点．
∴

g(0)＜0 g(1)＞0 g(2)＜0

?

-b＜0 ln2+ 1 2 -b＞0 ln3-1-b＜0

?

b＞0 b＜ln2+ 1 2 b＞ln3-1

∴ln3-1＜b＜ln2+

1

2

（13分）
即实数b的取值范围为ln3-1＜b＜ln2+

1

2

（14分）

点评：本题主要考查导数法研究极值，单调性以及用函数解决方程根的分布问题．