Question

一直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛物线准线的一点．
（1）求证：∠ACB不可能是钝角；
（2）是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设，直线AB方程为，由得：y²-2pty-p²=0，由此能够证明∠ACB不可能是钝角
（2）假设存在点C，使得△ABC为正三角形．由（1）得：线段AB的中点为，由此能够推导出存在点，使得△ABC为正三角形．
解答：解：设，
直线AB方程为
由，得：y²-2pty-p²=0，
则
∴．
，
∴
∴不可能为钝角，
故∠ACB不可能是钝角
（2）假设存在点C，使得△ABC为正三角形
由（1）得：线段AB的中点为
①若直线AB的斜率不存在，这时t=0，，
点C的坐标只可能是，由，
得：，矛盾，于是直线AB的斜率必存在．
②由CM⊥AB，得：k_CM•k_AB=-1，
即，
∴m=pt³+2pt，
∴，|AB|=2p（t²+1），
由，得：，
∴
故存在点，使得△ABC为正三角形．
点评：本题考查角不能为钝角的证明，判断是否存在满足条件的点使得三角形为正三角形．具体涉及到抛物线的简单性质，直线和抛物线的位置关系，是难题．