Question

已知数列{a_n}是等比数列，S_n为其前n项和．
（I）设S3=

3

2

，S6=

21

16

，求a_n；
（II）若S₄，S₁₀，S₇成等差数列，证明a₁，a₇，a₄也成等差数列．

Answer 1

（I）设等比数列{a_n}的公比等于q，则由S3=

3

2

，S6=

21

16

 可得

a1(1-q3)

1-q

=

3

2

，且

a1(1-q6)

1-q

=

21

16

，两式相除解得q=-

1

2

，代入其中一式可得 a₁=2．
故通项公式 a_n =2×(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n-2．
（II）由S₄，S₁₀，S₇成等差数列，可得q≠1，2×

a1(1-q10)

1-q

=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q7)

1-q

．
故有 2q¹⁰=q⁴+q⁷，化简得 1+q³=2q⁶，∴a₁+a₁q³=a₁q⁶，
即 a₁+a₄=2a₇，故a₁，a₇，a₄也成等差数列．