Question

已知数列{a_n}是首项为a₁=1的等差数列，其前n项和为S_n，数列{b_n}是首项b₁=2的等比数列，且b₂S₂=16，b₁b₃=b₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足 c1+3c2+32c3+…+3n-1cn=an，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由{b_n}是首项b₁=2的等比数列，b₁b₃=b₄可求得其公比q=2，再结合数列{a_n}是首项为a₁=1的等差数列，且b₂S₂=16，可求得等差数列的公差，继而可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）当n=1时，可求c₁=a₁=1，当n≥2时，由a_n+1-a_n可求得c_n，从而可求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵{b_n}是首项b₁=2，公比为q的等比数列，b₁b₃=b₄，
∴2×2q²=2q³，而q≠0，
∴q=2，
∴b_n=2ⁿ，
∴b₂=4，
又数列{a_n}是首项为a₁=1的公差为d的等差数列，且b₂S₂=16，
∴S₂=4，即1+1+d=4，d=2，
∴a_n=2n-1，
（2）∵c₁+3c₂+3²c₃+…+3^n-1c_n=a_n①
∴c₁+3c₂+3²c₃+…+3^n-1c_n+3ⁿc_n+1=a_n+1②
②-①得：3ⁿ•c_n+1=2，
∴c_n+1=2•3^-n，
当n=1时，c₁=a₁=1
∴c_n=

2•31-n，n≥2 1，          n=1

，
∴T₁=1，
当n≥2时，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=1+2（3^-1+3^-2+…+3^1-n）
=1+2•

1 3 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

=1+1-

1

3n-1

=2-

1

3n-1

，
∵n=1时，也适合
∴T_n=2-

1

3n-1

，n∈N^*．

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查数列的求和，考查分类讨论思想与化归思想，属于中档题．