Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=2n，（n∈N^*）．
（1）求a的值；
（2）若数列{a_n}满足，且a₁=4，求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（II）中的数列{a_n}，求证：a₁+a₂+a₃+…+a_k＜5（k=1，2，3…）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求导，由，求出a．
（2）由题目中信息，得到数列{a_n}的递推关系式．再由累加法计算出数列的通项公式，从而得到a_n的通项公式．
（3）由数学归纳法分步骤证明即可．
解答：解：（1）由已知，可得f'（x）=2ax+b，
∴
解之得．
（2）∵，
∴．
由，
累加得（n=2，3）．
∴（n=2，3）．
当
∴（n=1，2，3）．
（3）当k=1时，由已知a₁=4＜5显然成立；
当k≥2时，（k≥2）
则a₁+a₂+a₃+…+a_k]=5＜5
综上，a₁+a₂+a₃+…+a_k＜5（k=1，2，3）成立．
点评：本题综合了导数，数列和数学归纳法的知识点的考查，是高考中往往容易考查到的内容，在作答时也可以酌情按步骤给分．