Question

已知数列{a_n} 中，a₁=1，a₂=，且（n=2，3，4，…）
（1）求a₃、a₄的值；
（2）设b_n=（n∈N^*），试用b_n表示b_n+1并求{b_n} 的通项公式；
（3）设c_n=（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由数列{a_n} 中，a₁=1，a₂=，且（n=2，3，4，…），分别令n=2和n=3，能求出a₃、a₄的值．
（2）当n≥2时，，故当n≥2时，，所以，由累乘法能用b_n表示b_n+1并求出{b_n} 的通项公式．
（3）由=tan（3n+3）-tan3n，能求出数列{c_n}的前n项和S_n．
解答：解：（1）∵数列{a_n} 中，a₁=1，a₂=，
且（n=2，3，4，…），
∴==，
==，
∴，．…（3分）
（2）当n≥2时，，
∴当n≥2时，，
故，
累乘得b_n=nb₁，
∵b₁=3，∴b_n=3n，n∈N^*．…（8分）
（3）∵
=，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=（tan6-tan3）+（tan9-tan6）+…+（tan（3n+3）-tan3n）
=tan（3n+3）-tan3．…（13分）
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意累积法和裂项求和法的合理运用．