Question

已知α、β∈（0，

π

4

），3sinβ=sin（2α+β），4tan

α

2

=1-tan²

α

2

．求α+β的值．

Answer 1

分析：从4tan

α

2

=1-tan²

α

2

．中解出tanα，利用配角法化简3sinβ=sin（2α+β），即将其中的2α+β用（α+β）+α，β用（α+β）-α
代换，从而求出tan（α+β），利用三角函数值求解得α+β的值．

解答：解：∵4tan

α

2

=1-tan²

α

2

，
∴2•tanα=1，tanα=

1

2

．
∵3sinβ=sin（2α+β），
∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．
∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα．
∴tan（α+β）=2tanα=1．
∴α+β=

π

4

．

点评：角的变换是常用技巧．如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）-α等．三角变换中的角的变换，在本题中显得尤为突出，将单角化为复角，对字母角度的巧妙拼凑，使得问题顺利解决．