Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=16，a₄=7．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

a2007a2008

的值．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的性质当n+m=k+l时则a_n+a_m=a_k+a_l得a₁=1，d=2所以a_n=2n-1
（2）先得到数列

1

a1a2

1

a2a3

…

1

a2007a2008

的通项公式

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)裂项后相加求和得

2007

4015

．

解答：解：（1）由题意得
因为{a_n}是等差数列
所以当n+m=k+l时则a_n+a_m=a_k+a_l
所以S₄=a₁+a₂+a₃+a₄
=2（a₁+a₄）=16
由∵a₄=7
∴a₁=1
∴d=2
所以数列{a_n}的通项公式是a_n=2n-1．
（2）由（1）得a_n=2n-1
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

a2007a2008

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

4011

-

1

4013

+

1

4013

-

1

4015

)
=

1

2

(1-

1

4015

)
=

2007

4015

∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

a2007a2008

的值是

2007

4015

．

点评：对等差数列的性质要熟悉，这也是高考常考的内容，此题是考查等差数列的性质等差中项．数列求和是高考重点本题考查用裂项相消求和．