Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=PB=BC．
（Ⅰ）若E是PC的中点，证明：PD⊥平面ABE；
（Ⅱ）试在线段PC上确定一点E，使二面角P-AB-E的大小为

π

3

，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直．
（Ⅱ）利用二面角的定义，确定E的位置．

解答：解：（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥CD，
又AB⊥AD，AC⊥CD，所以AB⊥面PAD，CD⊥面PAC …（4分）
所以AB⊥PD，CD⊥AE
又△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，所以AC=AB=BC=PA，
又E是PC中点，所以AE⊥PC，所以AE⊥面PCD，所以AE⊥PD，所以PD⊥面ABE，…（7分）
（2）过E作EG∥PA，交AC于G，过G作GH⊥AB，垂足为H，则由PA⊥底面ABCD知，
EG⊥面ABCD，所以∠EHG是二面角P-AB-E的平面角的余角，即∠EHG=

π

6

．
设AC=AB=BC=PA=2，PE=λPC，则EG=2-2λ，GH=

3

λ，
因为tan∠EHG=

3

3

所以

EG

GH

=

2-2λ

3 λ

=

3

3

，所以λ=

2

3

．
即点E在线段PC距点P位置为

2

3

PC处

点评：本题主要考查线面垂直的判定依据二面角大小的应用，考查学生分析问题的能力．