Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱PC=2

2

．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅲ）求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，证明PC⊥AB可通过证明AB⊥平面PCD，用线面垂直证线线垂直；
（II）要证明两个平面垂直，可以证明两个平面所成的二面角是直角，根据三边长满足勾股定理得到直角，得到结论．
（III）方法一：过D作DE⊥PA于E，连接CE，则CE⊥PA．所以∠DEC是二面角B-AP-C的平面角，在三角形中求角即可；
方法二：（空间向量法）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，给出各点的坐标，建立方程求出两个平面的法向量，用公式求出二面角的余弦值，

解答：解：（Ⅰ）设AB中点为D，连接PD，CD，（1分）
因为AP=BP，所以PD⊥AB．
又AC=BC，所以CD⊥AB．（2分）
因为PD∩CD=D，所以AB⊥平面PCD．
因为PC?平面PCD，所以PC⊥AB．（4分）
（Ⅱ）由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，
所以AD=BD=CD=

2

，AB=2

2

．
又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，所以PD=

6

．（6分）
因为PC=2

2

，所以PC²=CD²+PD²．
所以∠CDP=90°．
由（Ⅰ）知∠CDP是二面角P-AB-C的平面角．
所以平面PAB⊥平面ABC．（8分）
（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知CD⊥平面PAB．
过D作DE⊥PA于E，连接CE，则CE⊥PA．
所以∠DEC是二面角B-AP-C的平面角．（10分）
在Rt△CDE中，易求得DE=

6

2

．
因为CD=

2

，所以tan∠DEC=

CD

DE

=

2 3

3

．（12分）
所以cos∠DEC=

21

7

．
即二面角B-AP-C的余弦值为

21

7

．（13分）
方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知DC，DB，DP两两垂直．（9分）
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
易知D（0，0，0），C(

2

，0，0)，A(0，  -

2

，0)，P(0，0，

6

)．所以

AC

=(

2

，  

2

，0)，

PC

=(

2

，0，-

6

)．（10分）
设平面PAC的法向量为n=（x，y，z），
则

n• AC =0 n• PC =0

即

2 x+ 2 y=0 2 x- 6 z=0

令x=1，则y=-1，z=

3

3

．
所以平面PAC的一个法向量为n=(1，-1，

3

3

)．（11分）
易知平面PAB的一个法向量为

DC

=(

2

，0，0)．
所以cos＜n，

DC

＞=

n• DC

|n|| DC |

=

21

7

．（12分）
由图可知，二面角B-AP-C为锐角．
所以二面角B-AP-C的余弦值为

21

7

．（13分）

点评：本题考查二面角的求法，面面垂直的判定，线线垂直的判定，考查推理论证的能力及运算求解的能力，解答本题关键是掌握求二面角的方法--几何法与向量法，掌握几何法的步骤作角、证角、求解以及向量法的求解步骤建立坐标系，求出两平面的法向量的坐标，用公式求出两平面夹角的余弦值．