Question

（本小题满分14分）

已知函数.

(1)当时，讨论的单调性；

（2）设当时，若对任意，存在，使恒成立，求实数取值范围.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

当时，函数f(x)在（0,1）上单调递减；

           函数f(x)在（1,）上单调递增；

当时，函数f(x)在（0,1）上单调递减；

           函数f(x)在（1,）上单调递减；

当时，函数f(x)在（0,1）上单调递增；

           函数f(x)在（1,）上单调递减；

（2）

【解析】解：（Ⅰ）因为，

所以 ， 

令 ，

（1）当a=0时h(x)=-x+1,

所以 当时，h(x)＞0，此时，函数f(x)单调递减；

     当时，h(x)＞0，此时，函数f(x)单调递增

（2）当时，，

即，解得，

当时，恒成立，

此时，函数 在上单调递减；

    ②当，

       时，，此时，函数单调递减；

       时，此时，函数 单调递增；

       时，，此时，函数单调递减；

      ③当时，由于，

        ，,此时，函数 单调递减；

        时，，此时，函数单调递增.

综上所述：

当时，函数f(x)在（0,1）上单调递减；

           函数f(x)在（1,）上单调递增；

当时，函数f(x)在（0,1）上单调递减；

           函数f(x)在（1,）上单调递减；

当时，函数f(x)在（0,1）上单调递增；

           函数f(x)在（1,）上单调递减；

（Ⅱ）因为a=，由（Ⅰ）知，=1，=3，当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以在（0，2）上的最小值为。

由于“对任意，存在，使”等价于

“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）

又=，，所以

①当时，因为，此时与（*）矛盾

②当时，因为，同样与（*）矛盾

③当时，因为，解不等式8-4b，可得

综上，b的取值范围是