Question

    对于定义在上的函数，若存在，对任意的，都有或者，则称为函数在区间上的“下确界”或“上确界”．

（Ⅰ）求函数在上的“下确界”；

（Ⅱ）若把“上确界”减去“下确界”的差称为函数在上的“极差”， 试求函数在上的“极差”；

（Ⅲ）类比函数的“极差”的概念， 请求出在上的“极差”．

Answer 1

解：（Ⅰ） 令，则，

  显然，，列表有：

x	0	(0, x1)	x1	(x1, 1)	1
		-	0	+
		↘	极小值	↗	1

  所以，在上的“下确界”为 .  ………………4分

（Ⅱ）①当时，， ，

极差；

②当时，，，

极差；

③当时， ，，极差；

④当时，    ，    

极差  ；

   ⑤当时，，，极差 ； 

⑥当时， ,  ，

极差.

综上所述：        

（Ⅲ） 因为，

    当或时等号成立，所以的最大值为1． 

令，则

令，则

，

令，得是的极大值点，也是的最大值点，

，从而，

  所以      

      当时等号成立，所以的最小值为．

      由此