题目内容
已知函数f（x）=lg
，
（Ⅰ）若f（x）为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，5]内有意义，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断并证明f（x）的单调性．
| a-x | 1+x |
（Ⅰ）若f（x）为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，5]内有意义，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断并证明f（x）的单调性．
分析：（Ⅰ）由f（x）为奇函数 可得f（x）+f（-x）=0，即lg
+lg
=0，即
=1，由此可得a的值．
（Ⅱ）由题意可得f（x）在（-1，5]上
＞0恒成立，再由x+1＞0，可得a-x＞0，故a＞x在（-1，5]上
恒成立，由此可得a的范围．
（Ⅲ）当a＞5时，f（x）在定义域上为减函数，求得f（x）定义域为（-1，a）． 令-1＜x1＜x2＜a，
由于 f(x1)-f(x2)=lg
-lg
=lg
•
=lg
•
＞0，可得f（x1）＞f（x2），从而得出结论．
| a-x |
| 1+x |
| a+x |
| 1-x |
| (a-x)(a+x) |
| 1-x2 |
（Ⅱ）由题意可得f（x）在（-1，5]上
| a-x |
| 1+x |
恒成立，由此可得a的范围．
（Ⅲ）当a＞5时，f（x）在定义域上为减函数，求得f（x）定义域为（-1，a）． 令-1＜x1＜x2＜a，
由于 f(x1)-f(x2)=lg
| a-x 1 |
| 1+x1 |
| a-x2 |
| 1+x2 |
| a-x1 |
| 1+x1 |
| 1+x2 |
| a-x2 |
| a-x1 |
| a-x2 |
| 1+x2 |
| 1+x1 |
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（x）+f（-x）=0，
即lg
+lg
=0，∴
=1，∴a=1．…（4分）
（Ⅱ）∵若f（x）在（-1，5]内恒有意义，则在（-1，5]上
＞0恒成立，再由x+1＞0，
∴a-x＞0，∴a＞x在（-1，5]上恒成立，∴a＞5．…（8分）
（Ⅲ）当a＞5时，f（x）在定义域上为减函数，…（10分）
由
＞0，a＞5，得f（x）定义域为（-1，a）． …（12分）
令-1＜x1＜x2＜a，由于 f(x1)-f(x2)=lg
-lg
=lg
•
=lg
•
，…（14分）
∵-1＜x1＜x2＜a，∴a-x1＞a-x2＞0，1+x2＞1+x1＞0，∴
＞1 ，
＞1，
∴
•
＞1，∴lg
•
＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），∴f（x1）在（-1，a）为减函数．…（16分）
即lg
| a-x |
| 1+x |
| a+x |
| 1-x |
| (a-x)(a+x) |
| 1-x2 |
（Ⅱ）∵若f（x）在（-1，5]内恒有意义，则在（-1，5]上
| a-x |
| 1+x |
∴a-x＞0，∴a＞x在（-1，5]上恒成立，∴a＞5．…（8分）
（Ⅲ）当a＞5时，f（x）在定义域上为减函数，…（10分）
由
| a-x |
| 1+x |
令-1＜x1＜x2＜a，由于 f(x1)-f(x2)=lg
| a-x 1 |
| 1+x1 |
| a-x2 |
| 1+x2 |
| a-x1 |
| 1+x1 |
| 1+x2 |
| a-x2 |
| a-x1 |
| a-x2 |
| 1+x2 |
| 1+x1 |
∵-1＜x1＜x2＜a，∴a-x1＞a-x2＞0，1+x2＞1+x1＞0，∴
| a-x1 |
| a-x2 |
| 1+x2 |
| 1+x1 |
∴
| a-x1 |
| a-x2 |
| 1+x2 |
| 1+x1 |
| a-x1 |
| a-x2 |
| 1+x2 |
| 1+x1 |
即f（x1）＞f（x2），∴f（x1）在（-1，a）为减函数．…（16分）
点评：本题主要考查奇函数的定义和性质，对数函数的图象和性质应用，函数的恒成立问题，属于中档题．
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