Question

已知数列{a_n}满足a1=2，an+1(an+1)=2an(n∈N*)．
（1）证明{

1

an

-1}为等比数列，并求出通项公式a_n；
（2）设bn=

an

2n+1-1

，{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜1．

Answer 1

分析：（1）将数列递推式取倒数，再两边减去1，即可证得{

1

an

-1}为等比数列，从而可求出通项公式a_n；
（2）将数列通项裂项，再累加求和，即可证得结论．

解答：证明：（1）∵a_n+1（a_n+1）=2a_n
∴

1

an+1

=

an+1

2an

=

1

2

（1+

1

an

）
∴

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1）
∵a₁=2，∴

1

a1

-1=-

1

2

∴{

1

an

-1}为首项为-

1

2

，公比为

1

2

的等比数列
∴

1

an

-1=-(

1

2

)n，
∴a_n=

2n

2n-1

；
（2）bn=

an

2n+1-1

=

2n 2n-1

2n+1-1

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

∴{b_n}的前n项和为S_n=

1

21-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=

1

21-1

-

1

2n+1-1

＜1
∴S_n＜1．

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及数列的递推关系，同时考查了计算能力，属于中档题．