Question

下列命题：
①G=

ab

（G≠0）是a，G，b成等比数列的充分不必要条件；
②若角α，β满足cosαcosβ=1，则sin（α+β）=0；
③若不等式|x-4|＜a的解集非空，则必有a＞0；
④函数y=sinx+sin|x|的值域是[-2，2]．
其中正确命题的序号是

①②③④

（把你认为正确的命题序号都填上）．

Answer 1

分析：①利用充分条件必要条件的定义判断．②利用三角函数的定义去判断．③利用绝对值不等式的解集判断．④利用三角函数的图象和性质判断．

解答：解：①当G=

ab

（G≠0）时，有G²=ab，所以a，G，b成等比数列，但当a，G，b成等比数列时，还可以有G=-

ab

，所以G=

ab

（G≠0）是a，G，b成等比数列的充分不必要条件，故①正确；
②当cosαcosβ=1时，有cosα=cosβ=-1或cosα=cosβ=1，即α=2k₁π+π（k₁∈Z），β=2k₂π+π（k₂∈Z）或α=2k₃π（k₃∈Z），β=2k₄π（k₄∈Z），这时α+β=2（k₁+k₂）π+2π（k₁，k₂∈Z）或α+β=2（k₃+k₄）π（k₃，k₄∈Z），必有sin（α+β）=0，故②正确；
③由于|x-4|的最小值等于0，所以当a≤0时，不等式|x-4|＜a的解集是空集，如果不等式|x-4|＜a的解集非空，必有a＞0，故③正确；
④函数y=sinx+sin|x|=

2sinx，x≥0 0，x＜0

，所以该函数的值域为[-2，2]，故④正确．
答案：①②③④

点评：本题考查了不同命题的真假判断，要求熟练掌握相关的知识点以及各知识的综合应用．